Agradezco a Fernando (de El pequeño rincón de los juegos de mesa) su interés por mis protos infantiles. Me ha animado a poner al día el de Penaltis, que nos da pie a seguir hablando de matemáticas lúdicas.
Penaltis representa la tanda de penaltis de un partido de fútbol. Es tan sencillo, que hasta los niños más pequeños lo juegan solos. Puedes descargarte una versión para imprimir y jugar desde la página de Mis juegos.
Básicamente, el lanzador del penalti elige una dirección de disparo: izquierda, centro o derecha. Si el portero adivina la trayectoria, detiene el penalti; si no, es gol.
Se trata de un juego de 2 jugadores, asimétrico –con distintas recompensas para portero y lanzador–, de suma cero –si uno gana, el otro pierde– y de selección simultánea.
El resultado de un penalti dependería, como siempre en Teoría de Juegos, de las decisiones combinadas de los jugadores. El lanzador elige entre sus 3 Estrategias (izquierda, centro, derecha), pero será el cruce con la decisión del portero lo que hará bueno o malo el disparo. Esta sería la Matriz de Recompensas.
No vemos una Estrategia Dominante. No podemos descartar ninguna por ser peor que las demás. De hecho, son simétricas. Ninguna es mejor que otra ni más prudente ni ambiciosa. Es un Juego de Coordinación en el que el portero intenta elegir el mismo lado que el lanzador mientras éste busca justo lo contrario.
Entonces, ¿adónde disparo? El juego no puede resolverse por Estrategias Puras. A un solo lanzamiento, lo mejor sería elegir al azar.
Lo que le da gracia al juego de cartas es que, para la tanda de 5 penaltis, cada equipo cuenta solo con 7 lanzadores: 3 disparan a la izquierda, 2 al centro (a lo panenka) y 2 a la derecha. Si un equipo juega demasiado pronto sus 2 tiros a lo panenka, el rival sabrá que no volverán a dispararle al centro… Esta limitación es lo que le da estrategia al juego.
En próximas entradas, volveremos sobre los nuevos conceptos que hemos apuntado hoy.
¿Tus niños comen poca fruta? ¿Quieres sorprender a tus invitados con un postre original? Hoy llevamos el juego a la cocina. Esta es la receta.
POSTRE LÚDICO (2+ personas)
Ingredientes
Fruta.
Un bocado especial. Puede ser una mora, una castaña asada o cualquier bocado que represente el premio del ganador.
Preparación
Pela y corta la fruta en pequeñas porciones que puedan pincharse con un tenedor y tomarse de un solo bocado. Disponla con gracia en un plato. Por último, prepara y sitúa el premio en el centro.
COME Y JUEGA
Cada jugador toma un tenedor. Empieza quien tenga más hambre. Por orden, cada jugador toma 1 o 2 porciones de fruta. No se puede pasar.
El bocado especial será el último que se pueda tomar. Quien se lo come gana el juego.
Vale, como juego ya estaba inventado, pero seguro que puedes sorprendes a tus invitados con un plato de fruta bañada en chocolate o unos pastelitos, por ejemplo.
Se trata de un juego secuencial –primero juega uno, luego otro… y vuelta a empezar–, de suma cero –quien gana es a costa de los demás– y finito, tarde o temprano el plato quedará vacío.
Este juego, como otros en Teoría de Juegos, solo puede resolverse para 2 jugadores. Comencemos por el final… Si mi invitado me dejara en el plato 1 solo bocado (la mora final), me brindaría el triunfo. Incluso, si me dejara las 2 últimas porciones (una fresa y la mora), también ganaría tomando las dos. ¡Ya lo tengo! Si al final de mi turno le dejo 3 porciones, él no tendrá más remedio que dejarme 2 (si toma 1 fresa) o solo 1 (si toma 2 fresas) ¡y así terminaré ganando!
Representación del juego Postre lúdico
Sigamos la inducción hacia atrás. Puedo repetir la jugada dejando 6 piezas en mi penúltimo turno. Él tendrá que dejarme 5 (si toma 1 fresa) o 4 (si toma 2 fresa). En ambos casos, podré dejarle solo 3 al final de mi turno, estrategia que ya vimos que me daba la victoria. Y así podríamos continuar.
El truco para ganar. Prepara el plato con un número de bocados múltiplo de 3. Pueden ser 18. Deja cortésmente que comience tu invitado. A continuación, realiza la acción opuesta a la suya: si él toma 1 fresa, toma tú 2; si él toma 2, entonces toma tú sólo 1. Eso te asegura dejar 15, 12, 9, 6, 3 piezas al final de tus turnos y, finalmente, llevarte el premio y ganar la partida.
VARIANTE PARA DOS NIÑOS
En lugar de un solo premio, prepara dos iguales en el centro del plato. Serán los últimos que se puedan tomar.
Los niños jugarán azarosamente hasta casi el final. Cuando uno vea solo 4 bocados en un plato, no tomará 2 porque le dejaría los dos premios a su oponente: tomará solo 1 dejando 3 en el plato. Bien desde un plato de 5 del que toman 2, bien desde uno de 4 del que toman 1, siempre ocurrirá que un turno finalice con 3 bocados en juego. La siguiente jugada también es clara. El niño tomará dos porciones para llegarse al menos un premio. El otro quedará para su compañero de merienda. ¡Los dos ganan!
Representación de la variante para dos niños
Ellos, contentos por su astucia, y nosotros por la fruta que se han tomado sin darse ni cuenta. ¿Os animáis a probarlo? Buen provecho.
En la entrada anterior, planteamos el ejercicio del Piso compartido entre dos paisanos dispuestos a emigrar juntos. ¿Lo habéis jugado? Vamos a resolverlo.
En el Dilema del Prisionero vimos que una de las estrategias era siempre mejor que la otra. No ocurre lo mismo en este juego del Piso compartido. Cada carta tiene la mejor recompensa dependiente de cada posible jugada del otro jugador. En efecto, si él es un Gorrón, lo mejor que puedo hacer yo es pagar o el mal sería mayor. En cambio, si él es un Paganini, yo me podría aprovechar y ser el Gorrón. No hay estrategia dominante.
Sin embargo, sí hay una carta que me conviene más que juegue el rival. Efectivamente, la fila superior de la matriz de recompensas (en amarillo) es siempre mejor para mí. Juegue lo que juegue yo, me interesa que él afloje la gallina, que sea un Paganini.
¿Cómo me aseguro de que él pague? Vimos que la mejor estrategia frente a un Gorrón era pagar el pato. ¡Perfecto! Demostremos a nuestro paisano que no pagaremos. Anticípate y juega la carta antes que él. Cuando la vea en la mesa, comprobará que tiene que elegir entre susto o muerte, -2 siendo el pardillo que paga o -5 siendo otro Gorrón y echando por tierra su sueño emigrante. Pagará.
Además, esta solución o combinación de estrategias es un equilibrio de Nash: ni el Gorrón pagará si ya paga el otro, ni el Paganini dejará de pagar, por más que le pese. Por contra, no son estables las otras combinaciones. Si los dos saben que están dispuestos a pagar, tendrán la tentación de ser gorrones. O si los dos saben que se van a escaquear, podría arrepentirse alguno y pagar para evitar el castigo mayor.
Este es el Juego del Gallina, en el sentido de cobarde. En Biología se ha descrito como el Modelo Halcón-Paloma. El halcón es el que abusa (nuestro Gorrón) y la paloma la que cede (nuestro Paganini).
El comportamiento esperado del jugador sería de amenaza o agresión, como el halcón. La anticipación funcionaría, para quien pueda jugar primero y mostrar su jugada. También hacerse el loco demostrando que no vas a ceder porque no entras en razón. Por último, otra alternativa es la disuasión, si el rival se deja influenciar.
Partida a 8 jugadores. Yo jugaba con el Papado, un buen amigo con el Imperio Otomano. Para ambos, el Adriático Meridional era un lugar estratégico para la defensa de nuestras costas. En el turno 1, nos lanzamos a alta mar, el Papa desde Ancona en el norte, el Sultán desde Durazzo en el sur. Nuestras flotas chocaron sus proas (1-1) y se repelieron. Turno desperdiciado para los dos. Amenazas, improperios…
En el turno 2, decidí solucionar este juego del gallina como hemos aprendido. Lancé de nuevo mi flota con decisión al Adriático, pero esta vez advertí, con más audacia que chulería, el movimiento a todos los jugadores. El mensaje entre líneas era: «Sultán, no vuelvas a llevar tu flota al Adriático porque chocaremos y perderás el turno otra vez (mal mayor). Mejor, aprovecha tu flota para tomar otras posiciones (mal menor)».
Pugna por el Adriático Meridional entre el Papa y el Sultán
El truco falló. Está visto que los líderes espirituales de cristianos y turcos no podíamos llegar a un acuerdo. Nuestra obcecación nos desgastó inútilmente, como describe el modelo.
Por último, un ejemplo de cómo aplico esta lección al diseño de juegos.
Mi último prototipo, ¡Hipócritas!, representa un sistema moral. Los jugadores forman una comunidad y ejercen cargos públicos… de forma honesta o corrupta. Después de cada ronda, deben hacer una ofrenda colectiva a los dioses. Esta se compone de donaciones individuales medio secretas de los jugadores. Si los donativos suman la cantidad suficiente, gozarán del favor divino. En cambio, si la ofrenda es escasa, enojarán a los dioses.
El ganador será el jugador más rico después de 3 ofrendas exitosas. Sin embargo, si antes defraudan 3 veces a los dioses, todos pierden. Por tanto, a todos les conviene que las ofrendas sea generosas. Exigirán que todos aporten a manos llenas… mientras cada uno intentará escabullirse, como buenos hipócritas.
Los más ricos pagaron como gallinas. Prototipo ¡Hipócritas!
Así, el juego proporciona a los jugadores más pobres la oportunidad del chantaje: exigirán a los más ricos que se hagan cargo de la ofrenda. Al fin y al cabo, son ellos, los que van ganando, los más interesados en que la partida continúe. Si los jugadores pobres demuestran que no harán ningún donativo, los ricos no tendrán más remedio que pagar solos la ofrenda. Susto o muerte.
Traición o, mejor, desconfianza y falta de colaboración, tal vez persuasión y engaño, es el comportamiento que cabe esperar de los jugadores del Dilema del Prisionero.
Hoy te propongo otro jueguecito (solo aparentemente) similar: simétrico, para dos jugadores, de una sola acción simultánea y suma no cero; dos cartas, cuatro numeritos.
Buscan trabajadores en un país remoto. Dos paisanos superan el proceso de selección. Aunque apenas se conocen, deciden compartir la aventura. Abren una cuenta para gestionar los gastos comunes y encargan el viaje a una agencia, que además les buscará un piso para compartir. En cuanto paguen el coste de 2 unidades monetarias, la agencia hará las reservas.<
Si ambos cumplen su palabra de ingresar una buena cantidad en la cuenta, les costará 1 a cada jugador. Si solo uno de ellos cumple, le cobrarán los 2 a él, mientras el otro viajará de gorrón. Aunque lo peor sería que ninguno pagara porque, entonces, no habrá vuelos y los dos perderán su puesto de trabajo.
Minijuego Piso compartido
Te animo, de nuevo, a imprimir las cartas y probar el juego por ti mismo. ¿Ves alguna estrategia dominante? ¿Y algún equilibrio? En unos días lo interpretaremos.
Página lúdica de Paco Gómez 