Equilibrio. Caso práctico

He rescatado de mi cajón el proto de juego infantil Despistado Papá Noel. Es un buen caso práctico de equilibrio de un juego. Un buen diseño debe garantizar que todos los jugadores tengan –en lo posible– las mismas oportunidades de ganar. Eso, con independencia del número de jugadores y protegiéndose del azar en la configuración inicial.


La mañana de Navidad los niños saltan de la cama. Escribieron su carta a Papá Noel y corren junto al árbol donde están los regalos, pero… ¡no puede ser! Papá Noel olvidó escribir en la etiqueta para quién era cada regalo. ¡Qué despistado!

¿Cómo los repartimos? Los niños pidieron juguetes repetidos. Espera, también ha dejado un dado y unas reglas de juego.

Despistado Papá Noel. Configuración
Configuración de Despistado Papá Noel

Cinco regalos como objetivo para cada uno de los máximo seis jugadores, y quince regalos distintos (sin repetir) en el árbol. ¿Por qué 5, 6 y 15?


Los jugadores deben disputarse los regalos, pero de una forma equilibrada entre todos ellos. Si yo me peleo con un jugador por el caballito y con otro por el castillo, los demás jugadores no deberían tenerlo más fácil (ni más difícil).

El popular Dobble resuelve algo parecido. Cada carta comparte un elemento y solo uno con todas y cada una de las cartas restantes. Sin embargo, un mismo elemento –el corazón, por ejemplo– está incluido en muchas (demasiadas) cartas. Este modelo provocaría una exigencia excesiva y frustrante en el juego navideño. (Las cartas del Dobble se definen con geometría proyectiva. Si tienes curiosidad, puedes verlo en el blog Haciéndome el Sueco).

Dooble. Plano de Fano
Dobble proyectivo

Para el juego navideño, basta con que un mismo regalo lo persigan solo dos jugadores y con que cada jugador dispute un solo regalo con cada oponente. ¿Cómo lo concretamos?

Despistado Papá Noel. Conflictos
Equilibrio de Despistado Papá Noel

Por cada par de jugadores pondremos un regalo en disputa. Se ve mejor con un ejemplo. Tres jugadores (A, B y C) necesitarán un regalo para que riñan A y B, otro para A y C, y un tercero para B y C. Estas son combinaciones del número de jugadores agrupados de 2 en 2.

Despistado Papá Noel. Combinaciones
Combinaciones de Despistado Papá Noel

Para 2 jugadores, bastaría 1 regalo para asegurar la riña. Para 3 jugadores harían falta 3, como vimos arriba. Para 4 jugadores, 6 regalos. Para 5 jugadores, 10 regalos. Para 6 jugadores, 15 regalos… El número de regalos objetivo es siempre uno menos que el número de jugadores. Si somos 6, pelearé con mis 5 oponentes por otros tantos regalos.

Ya tenemos el juego equilibrado. En la próxima entrada, hablaremos del escalado. Seguiremos dándole vueltas a los números combinatorios: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36…

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Cobardes Solidarios

El pasado finde se han celebrado las LES, las jornadas Ludo Ergo Sum de Madrid, dedicadas a los juegos de mesa modernos. Han sido muy gratificantes: encuentros con muchos amigos creadores, divulgadores, tenderos; demostraciones de ¡Cobardes! a jugadores que agradecen conocer el juego de manos del autor; presentaciones…

El sábado presentamos Cobardes Solidarios, un torneo benéfico surgido de la manera más imprevista y maravillosa. Lo que iba a ser una partida entre amigos ha acabado en un torneo solidario en favor de una protectora de animales amiga, que ha reunido a buena parte de los divulgadores lúdicos españoles. ¿No has visto el vídeo promocional?

Cobardes Solidarios. Cartel doble
Cartel de Cobardes Solidarios

El torneo ya ha comenzado y 46 divulgadores están peleando cobardemente por la Corona solidaria. Puedes seguir la evolución en los canales oficiales del torneo en Facebook, YouTube y Twitter.

Cobardes Solidarios. Avance de la 1.ª ronda
Encajar 46 jugadores con sus preferencias de emparejamiento y duelos acordados, intentando ser justos, tiene su aquel. Puedes ver la gala del sorteo.

Te animo a colaborar tú también con un donativo a través de CobardeSolidario.com. Por cada euro donado tendrás una participación en un sorteo de dos cestas con casi una treintena de juegos y la satisfacción de apoyar a la asociación SEDA, El Albergue de Luz, que acoge, cuida y busca adopción a gatos y perros. ¡Hazlo por ellos!

Operación retorno

Las vacaciones se acaban y, por si fuera poco, nos esperan largas retenciones de tráfico en la entrada. ¿Tú qué prefieres: volver temprano, a media tarde o mejor por la noche? Retomamos los Juegos de Coordinación que apuntamos en la entrada anterior.

Lo más cómodo sería viajar por la tarde. Claro que quizás sea lo que piensen casi todos, y ¡me comería un buen atasco!… Para asegurar, puedo renunciar a mi última mañana de playa y así entrar pronto en la ciudad. Probablemente pocos asumirán ese sacrificio… Otra opción es llegar de noche, aunque es más cansado y arriesgado. Como encima pille caravana, dormiré poquísimo.

Entonces, ¿qué es mejor? Pues depende de lo que hagan los demás conductores. Esto es Teoría de Juegos.


Os animo a probar el minijuego adaptado. Si la mitad o más de los jugadores coinciden en el mismo horario, sufrirán retenciones y obtendrán una puntuación menor.

Operación retorno
Minijuego Operación Retorno

Nota: ¿Os gustan las ilustraciones? Je, je. Son un regalazo de Mami Meeple, la sal y la pimienta de los debates lúdicos más divertidos en Twitter. Así la vuelta al cole se nos hace más llevadera a todos.


La Operación Retorno es un Juego de Coordinación, de coindicir o no coincidir con los demás conductores. Quien sepa anticipar lo que harán los demás evitará el atasco.

En nuestros tiempos, la información histórica y el Big Data juegan a nuestro favor. Por eso, los medios de comunicación nos informan: “El año pasado, los atascos de entrada comenzaron a las 17:30 horas” o las apps de navegación nos avisan de las vías colapsadas y las que tienen tráfico fluido.

Si este domingo tienes que volver de tus vacaciones, ¿cómo te planteas el viaje? Podéis coordinaros dejando comentarios. 😉


Para finalizar, una implementación lúdica, la del mercado de recursos energéticos del Alta Tensión.

Los jugadores compran centrales eléctricas que luego deben alimentar con carbón, petróleo, basura o uranio. ¿Qué tipo de central es el más rentable? Pues depende de lo que hayan construido los demás. Si tengo la única nuclear, el uranio me saldrá barato, pero si todos tenemos centrales de petróleo, el precio del crudo subirá. La oferta y la demanda es un juego de coordinación.

Alta tensión
Mercado de recursos del Alta Tensión, de Friedemann Friese

Penaltis, el juego de cartas

Agradezco a Fernando (de El pequeño rincón de los juegos de mesa) su interés por mis protos infantiles. Me ha animado a poner al día el de Penaltis, que nos da pie a seguir hablando de matemáticas lúdicas.

Penaltis representa la tanda de penaltis de un partido de fútbol. Es tan sencillo, que hasta los niños más pequeños lo juegan solos. Puedes descargarte una versión para imprimir y jugar desde la página de Mis juegos.

Básicamente, el lanzador del penalti elige una dirección de disparo: izquierda, centro o derecha. Si el portero adivina la trayectoria, detiene el penalti; si no, es gol.

Gol de Griezmann

Se trata de un juego de 2 jugadoresasimétrico –con distintas recompensas para portero y lanzador–, de suma cero –si uno gana, el otro pierde– y de selección simultánea.

El resultado de un penalti dependería, como siempre en Teoría de Juegos, de las decisiones combinadas de los jugadores. El lanzador elige entre sus 3 Estrategias (izquierda, centro, derecha), pero será el cruce con la decisión del portero lo que hará bueno o malo el disparo. Esta sería la Matriz de Recompensas.

Portero-lanzador

No vemos una Estrategia Dominante. No podemos descartar ninguna por ser peor que las demás. De hecho, son simétricas. Ninguna es mejor que otra ni más prudente ni ambiciosa. Es un Juego de Coordinación en el que el portero intenta elegir el mismo lado que el lanzador mientras éste busca justo lo contrario.

Entonces, ¿adónde disparo? El juego no puede resolverse por Estrategias Puras. A un solo lanzamiento, lo mejor sería elegir al azar.

Lo que le da gracia al juego de cartas es que, para la tanda de 5 penaltis, cada equipo cuenta solo con 7 lanzadores: 3 disparan a la izquierda, 2 al centro (a lo panenka) y 2 a la derecha. Si un equipo juega demasiado pronto sus 2 tiros a lo panenka, el rival sabrá que no volverán a dispararle al centro… Esta limitación es lo que le da estrategia al juego.

En próximas entradas, volveremos sobre los nuevos conceptos que hemos apuntado hoy.

 

 

Postre lúdico

¿Tus niños comen poca fruta? ¿Quieres sorprender a tus invitados con un postre original? Hoy llevamos el juego a la cocina. Esta es la receta.


POSTRE LÚDICO (2+ personas)

Ingredientes

Fruta.

Un bocado especial. Puede ser una mora, una castaña asada o cualquier bocado que represente el premio del ganador.

Preparación

Pela y corta la fruta en pequeñas porciones que puedan pincharse con un tenedor y tomarse de un solo bocado. Disponla con gracia en un plato. Por último, prepara y sitúa el premio en el centro.

Fruta lúdica


COME Y JUEGA

Cada jugador toma un tenedor. Empieza quien tenga más hambre. Por orden, cada jugador toma 1 o 2 porciones de fruta. No se puede pasar.

El bocado especial será el último que se pueda tomar. Quien se lo come gana el juego.


Vale, como juego ya estaba inventado, pero seguro que puedes sorprendes a tus invitados con un plato de fruta bañada en chocolate o unos pastelitos, por ejemplo.

Se trata de un juego secuencial –primero juega uno, luego otro… y vuelta a empezar–, de suma cero –quien gana es a costa de los demás– y finito, tarde o temprano el plato quedará vacío.

Este juego, como otros en Teoría de Juegos, solo puede resolverse para 2 jugadores. Comencemos por el final… Si mi invitado me dejara en el plato 1 solo bocado (la mora final), me brindaría el triunfo. Incluso, si me dejara las 2 últimas porciones (una fresa y la mora), también ganaría tomando las dos. ¡Ya lo tengo! Si al final de mi turno le dejo 3 porciones, él no tendrá más remedio que dejarme 2 (si toma 1 fresa) o solo 1 (si toma 2 fresas) ¡y así terminaré ganando!

Esquema fruta
Representación del juego Postre lúdico

Sigamos la inducción hacia atrás. Puedo repetir la jugada dejando 6 piezas en mi penúltimo turno. Él tendrá que dejarme 5 (si toma 1 fresa) o 4 (si toma 2 fresa). En ambos casos, podré dejarle solo 3 al final de mi turno, estrategia que ya vimos que me daba la victoria. Y así podríamos continuar.

El truco para ganar. Prepara el plato con un número de bocados múltiplo de 3. Pueden ser 18. Deja cortésmente que comience tu invitado. A continuación, realiza la acción opuesta a la suya: si él toma 1 fresa, toma tú 2; si él toma 2, entonces toma tú sólo 1. Eso te asegura dejar 15, 12, 9, 6, 3 piezas al final de tus turnos y, finalmente, llevarte el premio y ganar la partida.


VARIANTE PARA DOS NIÑOS

En lugar de un solo premio, prepara dos iguales en el centro del plato. Serán los últimos que se puedan tomar.

Los niños jugarán azarosamente hasta casi el final. Cuando uno vea solo 4 bocados en un plato, no tomará 2 porque le dejaría los dos premios a su oponente: tomará solo 1 dejando 3 en el plato. Bien desde un plato de 5 del que toman 2, bien desde uno de 4 del que toman 1, siempre ocurrirá que un turno finalice con 3 bocados en juego. La siguiente jugada también es clara. El niño tomará dos porciones para llegarse al menos un premio. El otro quedará para su compañero de merienda. ¡Los dos ganan!

Esquema fruta 2
Representación de la variante para dos niños

Ellos, contentos por su astucia, y nosotros por la fruta que se han tomado sin darse ni cuenta. ¿Os animáis a probarlo? Buen provecho.

Juego del Gallina

En la entrada anterior, planteamos el ejercicio del Piso compartido entre dos paisanos dispuestos a emigrar juntos. ¿Lo habéis jugado? Vamos a resolverlo.

Juego del gallina (esquema)

En el Dilema del Prisionero vimos que una de las estrategias era siempre mejor que la otra. No ocurre lo mismo en este juego del Piso compartido. Cada carta tiene la mejor recompensa dependiente de cada posible jugada del otro jugador. En efecto, si él es un Gorrón, lo mejor que puedo hacer yo es pagar o el mal sería mayor. En cambio, si él es un Paganini, yo me podría aprovechar y ser el Gorrón. No hay estrategia dominante.

Sin embargo, sí hay una carta que me conviene más que juegue el rival. Efectivamente, la fila superior de la matriz de recompensas (en amarillo) es siempre mejor para mí. Juegue lo que juegue yo, me interesa que él afloje la gallina, que sea un Paganini.

¿Cómo me aseguro de que él pague? Vimos que la mejor estrategia frente a un Gorrón era pagar el pato. ¡Perfecto! Demostremos a nuestro paisano que no pagaremos. Anticípate y juega la carta antes que él. Cuando la vea en la mesa, comprobará que tiene que elegir entre susto o muerte, -2 siendo el pardillo que paga o -5 siendo otro Gorrón y echando por tierra su sueño emigrante. Pagará.

Además, esta solución o combinación de estrategias es un equilibrio de Nash: ni el Gorrón pagará si ya paga el otro, ni el Paganini dejará de pagar, por más que le pese. Por contra, no son estables las otras combinaciones. Si los dos saben que están dispuestos a pagar, tendrán la tentación de ser gorrones. O si los dos saben que se van a escaquear, podría arrepentirse alguno y pagar para evitar el castigo mayor.

Este es el Juego del Gallina, en el sentido de cobarde. En Biología se ha descrito como el Modelo Halcón-Paloma. El halcón es el que abusa (nuestro Gorrón) y la paloma la que cede (nuestro Paganini).

El comportamiento esperado del jugador sería de amenaza o agresión, como el halcón. La anticipación funcionaría, para quien pueda jugar primero y mostrar su jugada. También hacerse el loco demostrando que no vas a ceder porque no entras en razón. Por último, otra alternativa es la disuasión, si el rival se deja influenciar.


Un ejemplo de una partida real al Machiavelli, un juego viejuno de Avalon Hill.

Partida a 8 jugadores. Yo jugaba con el Papado, un buen amigo con el Imperio Otomano. Para ambos, el Adriático Meridional era un lugar estratégico para la defensa de nuestras costas. En el turno 1, nos lanzamos a alta mar, el Papa desde Ancona en el norte, el Sultán desde Durazzo en el sur. Nuestras flotas chocaron sus proas (1-1) y se repelieron. Turno desperdiciado para los dos. Amenazas, improperios…

En el turno 2, decidí solucionar este juego del gallina como hemos aprendido. Lancé de nuevo mi flota con decisión al Adriático, pero esta vez advertí, con más audacia que chulería, el movimiento a todos los jugadores. El mensaje entre líneas era: “Sultán, no vuelvas a llevar tu flota al Adriático porque chocaremos y perderás el turno otra vez (mal mayor). Mejor, aprovecha tu flota para tomar otras posiciones (mal menor)”.

Machiavelli (gallina)
Pugna por el Adriático Meridional entre el Papa y el Sultán

El truco falló. Está visto que los líderes espirituales de cristianos y turcos no podíamos llegar a un acuerdo. Nuestra obcecación nos desgastó inútilmente, como describe el modelo.


Por último, un ejemplo de cómo aplico esta lección al diseño de juegos.

Mi último prototipo, ¡Hipócritas!, representa un sistema moral. Los jugadores forman una comunidad y ejercen cargos públicos… de forma honesta o corrupta. Después de cada ronda, deben hacer una ofrenda colectiva a los dioses. Esta se compone de donaciones individuales medio secretas de los jugadores. Si los donativos suman la cantidad suficiente, gozarán del favor divino. En cambio, si la ofrenda es escasa, enojarán a los dioses.

El ganador será el jugador más rico después de 3 ofrendas exitosas. Sin embargo, si antes defraudan 3 veces a los dioses, todos pierden. Por tanto, a todos les conviene que las ofrendas sea generosas. Exigirán que todos aporten a manos llenas… mientras cada uno intentará escabullirse, como buenos hipócritas.

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Los más ricos pagaron como gallinas. Prototipo ¡Hipócritas!

Así, el juego proporciona a los jugadores más pobres la oportunidad del chantaje: exigirán a los más ricos que se hagan cargo de la ofrenda. Al fin y al cabo, son ellos, los que van ganando, los más interesados en que la partida continúe. Si los jugadores pobres demuestran que no harán ningún donativo, los ricos no tendrán más remedio que pagar solos la ofrenda. Susto o muerte.